知识点:如何通俗理解泰勒公式?


如何通俗地解释泰勒公式? - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/111173412

如何通俗地解释泰勒公式? - 知乎用户的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21149770/answer/734966062

据说泰勒有一天无聊玩 GeoGebra 的时候,在输入框里输了:

[公式]

然后无聊的拨弄着滑动条来随意改变这些个A值。

屏幕上函数图像不断变化着,但那线条总是歪七八扭,不听使唤。他认真了起来,扩大了A值的范围和精度,逐渐找到规律之后,他已经能够调出 剑尖,牙齿,猫耳 等图像。

他不断增加项数,调整参数,他发现增加的项数越多,他就越能掌控图像的变化。他像扭铁丝似的上下弯折着曲线,无意中调出了一段波浪形的图像,看着似乎挺眼熟……

——这不是 sin 函数吗!

他抑制不住自己的兴奋,赶紧输入了标准的 sin 函数进行对比,同时继续调整多项式,使这个山寨函数尽可能地贴近正品。

他仔细端详着,单看眼前这一段,简直可以以假乱真,不过越到后面,分歧也就越明显了。

他猛然意识到:"我能够控制多项式画出任意图像!甚至把它伪装成其他函数!"


但是他很快冷静了下来,问了自己一连串的问题:

所谓的任意,可以是无限制的任意吗?
我能否完美地"伪装"出一个目标函数?
如果不能,那又能够伪装到何种程度?


摆在眼前的具体问题就是,能否"伪装"出一个完美的 sin 函数?

他决定一探究竟。

如果存在某 n 次多项式等于 sin(x);
则其导函数也等于 sin(x) 的导函数;
它的二阶导也等于 sin(x) 的二阶导;
它的三阶导也等于 sin(x) 的三阶导;
……
它的 n 阶导也等于 sin(x) 的 n 阶导。

可是,每求导一次,多项式就会降一阶。求到 n 阶导不就变成常数了吗?再导不就归零了吗!

而 sin(x) 可以无穷阶求导,所以无论 n 有多大,都不可能完美伪装出 sin 函数。


除非…… n 为无穷大?


这就引出了下面的问题:这样的伪装可以到达何种程度?

首先,经过调整,可以使二者的起点一致;
然后,可以调整使二者在该点处斜率一致;
再然后,可以调整该点处的二阶导数一致;
再然后,可以调整该点处的三阶导数一致;
……
总之,我们总可以使该点处 n 阶导数一致。

而 n 可以无限递增下去,我们的"伪装"就可以无限逼近目标函数。


☆ 挑战读者:

故事发展至此,事件的线索已经全部给出,真相已经呼之欲出了!请诸君充分动用自己的聪明才智,解开这个谜团,揭开凶手(泰勒公式)的真面目吧! ——埃勒里·泰勒·奎因


看着图像的变化,他不禁把那个起点当成了运动的质点,斜率即质点的速度……他忍不住做起了一个思想实验:

没有其他外力,没有初速度的条件下,质点只能静止在原地,毫无自由可言。
给质点一个初速度,我们可以使质点单向匀速运动;
若再给定一个加速度,我们可以使速度均匀变化,从而产生拐弯运动;
若再给定加速度的变化率,我们使加速度均匀变化,速度拐弯变化,产生可转向拐弯运动;
……
如果一开始就设定好质点的初速度,加速度,加加速度,加加加…加速度的话,正如用一只无形的手调控着它的命运,那么无论想让它何时拐,往何处拐,如何拐……就全都在初始条件的设计之中了![1]

这一刻,他仿佛触摸到了力量,触摸到了真理,触摸到了前所未有的自由!

他大吼一声:“泰勒展开!”,写下了"那个公式":

[公式]

写罢,他对世界呼喊道:“这,就是我的初始条件!

那一瞬间,后世所有数学系学生的苦逼命运已经全然决定,只能沿着他所设定的路线挣扎前行,沉沦其中,无法挣脱。





正当泰勒沉溺于力量之中时,他不知道,一个叫做傅里叶的人即将在圆周运动之中窥探到更深层的秘密,解开另一道更为强大的封印!这股新力量的出现到底是会终结泰勒的诅咒呢?还是会将诅咒变得更为凶残……


无论最终结果将人类历史导向何处,我决定选择狗带!

参考

  1. ^从这里反过来也可以回答一开始"图像的'任意'有怎样的限制"这个问题了。它的限制就是:有质量的物体在设定好初速度,加速度,加加速度,加加加…加速度的情况下可能形成的运动轨迹。因为物体有质量,有惯性,初始条件又是静态的,所以运动路线是受限的,不是任意的图像,但是也有足够丰富的变化了。

Author: 知乎用户
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